כמה אריות צריך להרוג כבש? התשובה איננה פשוטה כמו שחושבים. לא, לפחות, על פי תורת המשחקים.

תורת המשחקים הוא ענף של מתמטיקה הלומד ומנבא קבלת החלטות. לעתים קרובות זה כרוך ביצירת תרחישים היפותטיים, או "משחקים", לפיהם מספר אנשים המכונים "שחקנים" או "סוכנים" יכולים לבחור מתוך מערכת מוגדרת של פעולות על פי סדרת כללים. לכל פעולה תהיה "תמורה" והמטרה היא בדרך כלל למצוא את התמורה המקסימלית עבור כל שחקן על מנת להבין כיצד הם עשויים להתנהג.

שיטה זו שימשה במגוון רחב של נושאים, כולל כלכלה, ביולוגיה, פוליטיקה ו פסיכולוגיה, וכדי לעזור להסביר התנהגות במכירות פומביות, הצבעה ותחרות בשוק. אבל תורת המשחקים, בזכות אופייה, הולידה גם כמה טיזרים מוחיים משעשעים.

אחת המפורסמות פחות של חידות אלה כוללת עבודה כיצד שחקנים יתחרו על משאבים, במקרה זה אריות רעבים וטלה טעים. קבוצת אריות חיה באי מכוסה דשא אך ללא בעלי חיים אחרים. האריות זהים, רציונליים לחלוטין ומודעים לכך שכל האחרים הם רציונליים. הם גם מודעים לכך שכל שאר האריות מודעים לכך שכל האחרים הם רציונליים וכו '. מודעות הדדית זו מכונה "ידוע לכל”. זה מוודא שאף אריה לא ייקח סיכוי או ינסה להערים על האחרים.

מטבע הדברים, האריות רעבים ביותר אך הם אינם מנסים להילחם זה בזה מכיוון שהם זהים בכוחם הגופני ולכן בהכרח כולם בסופו של דבר מתים. מכיוון שכולם רציונליים לחלוטין, כל אריה מעדיף חיים רעבים על פני מוות מסוים. ללא שום אלטרנטיבה, הם יכולים לשרוד על ידי אכילת אספקת דשא בלתי מוגבלת במהותה, אך כולם יעדיפו לצרוך משהו בשרני יותר.

יום אחד מופיע טלה באי. איזה יצור מצער זה נראה. עם זאת, למעשה יש לו סיכוי לשרוד את הגיהינום הזה, תלוי במספר האריות (המיוצגים באות N). אם אריה כלשהו צורך את הכבש חסר ההגנה, הוא יתמלא מכדי להגן על עצמו מפני האריות האחרים.

בהנחה שהאריות לא יכולים לחלוק, האתגר הוא לבדוק האם הכבש ישרוד או לא, בהתאם לערכו של נ. או, אם לומר זאת אחרת, מהי הדרך הטובה ביותר לפעולה לכל אריה - לאכול את הכבש או לא לאכול את הכבש - תלוי כמה אחרים יש בקבוצה.

הפתרון

סוג זה של בעיית תורת המשחקים, בה עליכם למצוא פיתרון לערך כללי של N (כאשר N הוא מספר שלם חיובי), הוא דרך טובה לבדוק את ההיגיון של תיאורטיקני המשחק ולהדגים כיצד עובד אינדוקציה לאחור. אינדוקציה לוגית כוללת שימוש בראיות כדי ליצור מסקנה שהיא כנראה נכונה. אינדוקציה לאחור היא דרך למצוא תשובה מוגדרת היטב לבעיה על ידי חזרה, צעד אחר צעד, למקרה הבסיסי ביותר, שניתן לפתור באמצעות טיעון הגיוני פשוט.

במשחק האריות, המקרה הבסיסי יהיה N = 1. אם היה רק ​​אריה רעב אחד על האי הוא לא יהסס לאכול את הכבש, מכיוון שאין אריות אחרים שיתחרו בו.

בואו נראה מה קורה במקרה של N = 2. שני האריות מסיקים שאם אחד מהם אוכל את הכבש ויהיה מלא מכדי להתגונן, יאכל אותו האריה השני. כתוצאה מכך, אף אחד מהשניים לא ינסה לאכול את הכבש וכל שלושת החיות יחיו באושר ביחד באכילת דשא באי (אם אפשר לקרוא חיים שמאחלים תלויים רק ברציונליות של שני אריות רעבים).

עבור N = 3, אם מישהו מהאריות אוכל את הכבש (הופך למעשה לכבש חסר הגנה בעצמו), זה יצמצם את המשחק לאותו תרחיש כמו עבור N = 2, בו אף אחד מהאריות הנותרים לא ינסה לצרוך את אריה חסר הגנה חדש. אז האריה שהוא הכי קרוב לכבש האמיתי, אוכל אותו ושלושה אריות נשארים על האי בלי לנסות לרצוח אחד את השני.

ובשביל N = 4, אם מישהו מהאריות אוכל את הכבש, זה היה מצמצם את המשחק לתרחיש N = 3, מה שאומר שהאריה שאכל את הכבש בסופו של דבר ייאכל בעצמו. מכיוון שאף אחד מהאריות לא רוצה שזה יקרה, הם משאירים את הכבש לבד.

בעיקרו של דבר, תוצאת המשחק נקבעת על ידי פעולת האריה הקרוב ביותר לטלה. עבור כל מספר שלם N, האריה מבין שאכילת הכבש תפחית את המשחק למקרה N-1. אם מקרה ה- N-1 מביא להישרדות הכבש, האריה הקרוב ביותר אוכל אותו. אחרת, כל האריות נותנים לטלה לחיות. לכן, בעקבות ההיגיון בחזרה למקרה הבסיסי בכל פעם, אנו יכולים להסיק כי הכבש תמיד ייאכל כאשר N הוא מספר אי זוגי וישרוד כאשר N הוא מספר זוגי.

על המחבר

אמירלן סקסנבייב, מועמדת לתואר שלישי במדעי המתמטיקה, הסתברות ויישומים, המלכה מרי אוניברסיטת לונדון

מאמר זה פורסם במקור ב שיחה. קרא את מאמר מקורי.

ספרים קשורים

at InnerSelf Market ואמזון